Eje 2. Actividad 3: Razonamiento lógico-matemático

Propósito

Utiliza el método de cuatro pasos de Polya para la resolución de problemas de razonamiento lógico-matemático.

Descripción

Todos los problemas, incluso el más sencillo de resolver, siguen una estructura, y se resuelven por medio de un proceso que se presenta de diferentes formas. La actividad está encaminada a eso precisamente, a que desarrolles una estructura para poder resolver el problema. Para ello, primero debes leer el siguiente planteamiento e identificar los elementos del problema.

Reto matemático

Telsita, Thalesa, Hipotenusia, Aritmética y Restarin tienen un montón de 100 tarjetas enumeradas del 1 al 100. Como son muy hábiles con los números, se dedican a incluir o quitar del montón aquellas tarjetas según le gusten o no. Telsita toma las cien tarjetas, y como no le agradan los números pares, los descarta y pasa las tarjetas a Thalesa; éste, que es un amante de los múltiplos de 5, se da cuenta de que le faltan algunos, y los coge de los que Telsita había eliminado, y luego le entrega las tarjetas a Hipotenusia. Hipotenusia, como está enojada con Telsita y Thalesa, decide deshacerse de ellas y coger las tarjetas que éstos habían descartado, y se los pasa a Aritmética. Aritmética, tras observarlas, elimina aquellas que son múltiplos de 6 y de 8 porque las considera de mal gusto, y finalmente, se las pasa a Restarin. A Restarin no le agradan los números primos mayores a 7, así que elimina las tarjetas que tienen como divisor alguno de estos números. Restarin hace un recuento de las tarjetas que le quedan. ¿Cuántas tarjetas tiene ahora en su poder? ¿Cuál es el mayor número escrito en esas tarjetas?

 

Pasos para obtener una primera solución

La actividad se divide en tres momentos fundamentales:

Como primer momento, es conveniente que enlistes los elementos del problema, el cual debes representar en un esquema o diagrama dentro de un documento de texto.

Primer momento: Esquema al inicio del problema

Imagen

Segundo momento: Definir los elementos del problema

  • Existen 5 personas
  • Al principio existen 100 cartas en la mano de Telsita
  • Las personas van pasando cierto número de cartas de persona en persona siguiendo una regla (ver esquema)
  • Ninguna persona recibe las cartas más de una vez
  • En el esquema se representa el orden en el que se pasan las cartas hasta llegar a las cartas que quedan al final

Tercer momento: Proceso para resolver el problema (personal)

La forma en cómo lo resolvería de manera personal sería la siguiente:

  1. Definir los conceptos matemáticos del problema

Número par: Número entero que se puede escribir de la forma 2k, donde k es un número entero y los números pares son múltiplos del 2.

Número impar: Es el número entero que no es par, se escribe en la forma 2k+1.

 Múltiplo de un número: Es el que lo contiene un número entero de veces.

Número primo: Es un número entero mayor que 1 que tiene únicamente dos divisores distintos, él mismo y el 1.

Divisor: Es un factor, o un número b es divisor de otro a cuando lo divide exactamente.

  1. Teniendo los conceptos claros en mente, realizar a mano cada uno de los pasos para ver quién se queda con las cartas en cada pase.
  • Telsita toma las cien tarjetas (numeradas del 1 al 100). Y elimina los números pares

o   Los números pares son:

2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40,42,44,46,48,50,52,54,56,58,60,62,64,66,68,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,96,98,100

o   Los números impares son:

1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,39,41,43,45,47, 49,51,53,55,57,59,61,63,65,67,69,71,73,75,77,79,81,83,85,87,89,91, 93,95,97,99

  • Thalesa toma los números impares, y además los pares múltiplos de 5

o   Los números impares:

1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,39,41,43,45,47,49,

51,53,55,57,59,61,63,65,67,69,71,73,75,77,79,81,83,85,87,89,91,93,95,97,99

o   Los números pares múltiplos de 5: 10,20,30,40,50,60,70,80,90,100

  • Hipotenusia toma las cartas en la mesa (o sea las que no tiene Thalesa)

o   Los números pares menos los múltiplos de 5:

2,4,6,8,12,14,16,18,22,24,26,28,32,34,36,38,42,44,46,48,

52,54,56,58,62,64,66,68,72,74, 76,78,82,84,86,88,92,94,96,98

  • Aritmética elimina las cartas con múltiplos de 6 y de 8

o   Los múltiplos de 6 son: 6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,78,84,90,96

o   Los múltiplos de 8 son:                       8,16,24,32,40,48,56,64,72,80,88,96

o   Los números pares menos los múltiplos de 6:

2,4,8,14,16, 22, 26,28,32,34,38, 44,46,52,56,58,62,64,68,74,76,82,86,88,92,94,98

o   Los números anteriores menos los múltiplos de 8:

2,4,14,22,26,28,34,38, 44,46,52,58,62,68,74,76,82,86,92,94,98

  • Restarin no le gustan los números primos mayores a 7, así que elimina las tarjetas que tienen como divisor alguno de estos números:

o   2,4,14,22,26,28,34,38,44,46,52,58,62,68,74,76,82,92,94,98

o   Entonces, se tienen los siguientes divisores por número

2: 1  (1 < 7, no se elimina)

4: 1, 2, 4 (1 & 2 & 4 < 7, no se elimina)

14: 1, 2, 14 (1 & 2 < 7, pero 7 = 7, no se elimina)

22: 1, 2, 22 (1 & 2 < 7, pero 22 > 7, si se elimina)

26: 1, 2, 13 (1 & 2 < 7, pero 13 > 7, si se elimina)

28: 1, 2, 4, 7, 14 (1 & 2  & 4 < 7,  7 = 7,  y 14 > 7 pero no es primo, entonces no se elimina)

34: 1, 2, 17 (1 & 2 < 7, pero 17 > 7, si se elimina)

38: 1, 2, 19 (1 & 2 < 7, pero 19 > 7, si se elimina)

44: 1, 2, 4, 22 (1 & 2 & 4 < 7, pero 22 > 7, si se elimina)

46: 1, 2, 23 (1 & 2 < 7, pero 23 > 7, si se elimina)

52: 1, 2, 4, 13 (1 & 2 & 4 < 7, pero 13 > 7, si se elimina)

58: 1, 2 (1 & 2 < 7, no se elimina)

62: 1, 2 (1 & 2 < 7, no se elimina)

68: 1, 2, 4, 17 (1 & 2 & 4 < 7, pero 17 > 7, si se elimina)

74: 1, 2 (1 & 2 < 7, no se elimina)

76: 1, 2, 4, 19 (1 & 2 & 4 < 7, 19 > 7 si se elimina)

82: 1, 2 (1 & 2 < 7, no se elimina)

86: 1, 2 (1 & 2 < 7, no se elimina)

92: 1, 2, 4, 23 (1 & 2 & 4 < 7, 23 > 7 si se elimina)

94: 1, 2 (1 & 2 < 7, no se elimina)

98: 1, 2, 7 (1 & 2 < 7, 7 = 7, no se elimina)

 

o   Número total de cartas: 5

o   Número mayor: 98

 

Replanteamiento de mi método de solución aplicando el método de cuatro pasos de Polya

Método de Polya

Imagen

Paso 1.- Comprenda el problema

¿Qué debo calcular?

Debo calcular el número total de cartas que quedan al final de cada pase, así como el número mayor en las cartas.

Paso 2.- Elabore un plan

  • Elabore un esquema o diagrama (técnica de razonamiento por uso de diagramas, ver diagrama anterior)
  • Busque un patrón (técnica de razonamiento de uso de tabla)

Los números representados del 1 al 100 se pueden representar fácilmente en una tabla de 10 x 10

Imagen

De esta forma es fácil notar los números pares (representados en azul) los números impares (representados en rojo).

Los múltiplos de cinco (celda rellena en azul),

Los múltiplos de seis (celda rellena en rosa),

Los múltiplos de ocho (celda rellena en verde)

Números primos (marcados con un asterisco)

*Los múltiplos que se superponen están en naranja

24 es múltiplo de 6 y de 8

30 es múltiplo de 5 y de 6

40 es múltiplo de 5 y de 8

48 es múltiplo de 6 y de 8

72 es múltiplo de 6 y de 8

80 es múltiplo de 5 y de 8

96 es múltiplo de 6 y de 8

 Paso 3. Aplique un plan

Plan: Tachar los números que se están descartando siguiendo el esquema general de pase de cartas (representados por celda negra)

  • Telsita toma las cien tarjetas (numeradas del 1 al 100). Y elimina los números pares

Imagen

  • Thalesa toma los números impares, y además los pares múltiplos de 5

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  • Hipotenusia toma las cartas en la mesa (o sea las que no tiene Thalesa)

Imagen

  • Aritmética elimina las cartas con múltiplos de 6 y de 8

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Restarin elimina los números cuyos divisores sean números primos mayores a 7, para obtener los divisores se emplea el método de descomposicion en factores primos. Empezamos por el número mayor de los que se tienen, esperando que al factorizar se encuentren otros números y no se tengan que factorizar uno por uno todos.

Números que quedaron en la tabla:

2,4,14,22,26,28,34,38,44,46,52,58,62,68,74,76,82,86,92,94,98

98 / 2 = 49 / 7, como 7 es número primo = 7, no se descarta

94 / 2 = 47,  como 47 es número primo > 7, entonces se descarta

92 / 2 = 46 / 2 = 13, como 13 es un número primo > 7, entonces se descarta

86 / 2 =  43, como 43 es un número primo > 7, entonces se descarta

82 / 2 =  41, como 41 es un número primo > 7, entonces se descarta

76 / 2 = 38 / 2 = 19, como 19 es un número primo > 7, entonces se descarta

74 / 2 = 37, como 37 es un número primo > 7, entonces se descarta

68 / 2 = 34 / 2 = 17, como 17 es un número primo > 7, entonces se descarta

62 / 2 = 31, como 31 es un número primo > 7, entonces se descarta

58 / 2 = 29, como 29 es un número primo > 7, entonces se descarta

52 / 2 = 26 / 2 = 13, como 13 es un número primo > 7, entonces se descarta

46 / 2 = 23, como 23 es un número primo > 7, entonces se descarta

44 / 2 = 22 / 2 = 11, como 11 es un número primo > 7, entonces se descarta

38 / 2 = 19, como 19 es un número primo > 7, entonces se descarta

34 / 2 = 17, como 17 es número primo > 7, entonces se descarta

28 / 2 = 14 / 2 = 7, como 7 = 7, no se descarta

26 / 2 = 13, como 13 es número primo > 7, entonces se descarta

22 / 2 = 11, como 11 es número primo > 7, entonces se descarta

14 / 2 = 7, como 7 es número primo = 7, no se descarta

4 / 2 = 2, como 2 es número primo < 7, no se descarta

2 es número primo > 7, no se descarta

 

Número total de cartas que quedaron: 5

Número más alto en las cartas: 98

 

Paso 4. Revise y verifique

¿Qué inconvenientes experimentaste cuando seguiste un proceso para solucionar problemas?

El primer problema fue que necesitaba revisar los conceptos de múltiplo, divisor y número primo para así asegurarme que estaba eligiendo los números correctos. Por otra parte intenté aplicar una fórmula, pero en realidad fue mucho más sencillo simplemente tachar los números que ya tenía en el diagrama. Al final, me costó trabajo tratar de encontrar un método que me permitiera encontrar los divisores que fueran primos y después hacer la comparación de manera rápida.

¿Los procesos elegidos fueron adecuados y te facilitaron la comprensión y solución del problema?

Si, el método es bastante sencillo de seguir, y me parece que se puede aplicar en numerosos tipos de problemas, no únicamente lógico-matemáticos.

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